一类广义凸极大极小分式规划的最优性条件

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  摘要:本文考虑一类非光滑极大极小分式规划问题,问题中所出现的函数是局部Lipschitz的.对该类分式规划问题,引入了广义非光滑B-(p,r)-不变凸函数的概念,得到了关于这类函数的非光滑极大极小分式规划最优性条件.
  关键词:极大极小分式规划;广义非光滑B-(p,r)-不变凸函数;最优性条件
  中图分类号:O224 文献标识码:A 文章编号:1007-5348(2014)
  凸性理论在数学规划的最优条件及对偶原理中起着重要的作用,1977年,Schmitendorf获得了凸可微广义极大极小分式规划问题的充分和必要条件,在文 [1-5]中,分别对凸性概念进行推广同时也利用最优性条件建立极大极小规划问题的对偶理论.本文利用文[6]中广义非光滑B-(p,r)-不变凸函数的概念,讨论其相应极大极小广义分式规划问题的最优性条件.
  一、定义与引理
  约束条件 假设在的上半连续;在局部Lipschitz(关于一致);对每一个给定的,在正规,即关于的方向导数满足;集值函数在上半连续;
  在处Lipschitz和正规。
  定理(最优性充分条件)假设是广义分式规划问题的可行解,若下列条件成立:
  (Ⅰ)在处存在,使得定理1中(a)(b)(c)(d)成立;
  (Ⅱ)在点处是关于向量函数和函数的广义非光滑B-(p,r)-不变凸函数,其中;对任意,当时,;在点处是关于向量函数和函数的广义非光滑B-(p,r)-不变凸函,则是广义分式规划问题的最优解.
  定理 假设是广义分式规划问题的可行解,若下列条件成立:
  (Ⅰ)在处存在,使得定理1中(a)(b)(c)(d)成立;
  (Ⅱ)和在点处是关于向量函数和函数的广义严格非光滑B-(p,r)-不变凸函数;对任意,当时,;在点处是关于向量函数和函数的广义严格非光滑B-(p,r)-不变凸函数,则是广义分式规划问题的最优解.
  证明 由命题中的条件可知、和的广义
  严格不变凸性可知不等式(4)(5)成立,又由定理1中的条件(d),故可得
  这与定理中的条件(a)矛盾,所以是广义分式规划问题的最优解.
  定理(最优性充分条件)假设是广义分式规划问题的可行解,若下列条件成立:
  (ⅰ)在处存在,使得定理1中(a)(b)(c)(d)成立;
  (ⅱ)在点处是关于向量函数和函数的广义非光滑B-(p,r)-不变凸函数,其中;对任意,当时,;
  (ⅲ)在是局部Lipschitz的,且为正则的;
  则是广义分式规划问题的最优解.
  参考文献:
  [1]Schmitendorf W E.Necessary conditons for static minimax problems[J].J Math Anal Appl,1977,57:683-693.
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